Как вычислить центр окружности?

[DanZer]

Задача: Три произвольно заданных точки лежат на окружности. Составить на Паскале программу опредения координат центра этой окружности.

На чем я застрял: раз три точки - ежику ясно: вершины треугольника с описанной вокруг него окружностью. Стороны, площадь, радиус - пожалуйста, не проблема вычислить, т.к. координаты точек есть. Но что дальше?  В методичке даже подобного ничего нету, включив логику и остатки знаний по геометрии, вторую неделю бьюсь с идеей нахождения через серединные перпендикуляры к сторонам.

Т.е. если одну сторону получившегося треугольника представить, как часть графика функции Y=kX+b, то перпендикуляр, если не ошибаюсь, будет Yp=-X/k+b (так?). Если добавить поправочный коэф-т, чтоб при Хсреднем давал Yсреднее - формула серединного перпендикуляра готова. Но как найти точку пересечения этих самых перпендикуляров (aka центр окружности) - вообще идей нету, школьная математика успела вылететь напрочь за эти годы. Да и было ли оно такое в школе?

А может есть более простой алгоритм? Задачка-то считается обычной контрольной для заочников, всего лишь второе задание из 4, причем остальные три я расщелкал как орешки...

[RXL]

Три точки - еще не значит вписанный треугольник. В условиях же сказано: произвольно заданные. Делать такие выводы неправильно.
У тебя три точки дуги и надо найти радиус-вектор для одной из точек.
Входные данные тебе дают начальную, конечную и промежуточную точки дуги. Назначить роли ты можешь поизвольно - меняется дуга, но не ее радиус. Поройся в справочниках по геометрии.

[xelos]

Три точки - еще не значит вписанный треугольник. В условиях же сказано: произвольно заданные. Делать такие выводы неправильно.
У тебя три точки дуги и надо найти радиус-вектор для одной из точек.

а как еще, если не вписанный треугольник?

уравнение окружности в общем виде:
A*x^2+B*x+A*y^2+C*y+D = 0,

при условии, что B^2+C^2-4*A*D>0

тогда центр (a,b) будет :

a=-B/(2*A)
b=-C/(2*A)

ну и радиус:
R^2 = (B^2+C^2-4*A*D)/(4*A^2)

[npak]

Так как три точки лежат на окружности, то центр этой окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющих точки.  Это доказывается в два шага.  Теперь как найти точку пересечения.

Сначала определимся с уравнением для перпендикуляра.  Пусть отрезок соединяет точки с координатами (х1, у1) и (х2, у2).  Тогда средняя точка отрезка есть ( (х1+х2)/2,  (у1+у2)/2), а уравнение перпендикуляра будет

Код:

(x2-x1)(x - (x1+x2)/2) + (y2-y1)(y - (y1+y2)/2) = 0, или другими словами
(x2-x1)x + (y2-y1)y = (x2-x1)(x2+x1)/2 + (y2-y1)(y2+y1)/2

Перепендикуляр ко второму отрезку задаётся аналогично.  Центр лежит на пересечении этих прямых, то есть удовлетворяет системе линейных уравнений

Код:

(x2-x1)x + (y2-y1)y = (x2-x1)(x2+x1)/2 + (y2-y1)(y2+y1)/2,
(x3-x1)x + (y3-y1)y = (x3-x1)(x3+x1)/2 + (y3-y1)(y3+y1)/2

Если не помнишь, как решать линейные уравнения, напомню.  Решение системы

Код:

A1*x + B1*y = C1,
A2*x + B2*x = C2

есть пара точек:

Код:

x = (C1*B2 - C2*B1)/(A1*B2 - A2*B1), y = (A1*C2 - A2*C1)/(A1*B2 - A2*B1)

Теперь, надеюсь, сам справишься. Уравнения написаны, формула для решения дана.

[DanZer]

Спасибо, это именно то, что надо было.

[Джон]

Так, я всё равно не понял, а зачем треугольник? Разве эти три точки не удовлетворяют уравнению одной и той же окружности? Вопрос же стоит как проще. Система трёх уравнений с тремя неизвестными - решается. Зачем геометрия с треугольником?

[DanZer]

Даже при решении через уравнение окружности не обойтись без треугольника для нахождения радиуса. И потом, в уравнении окружности есть 2 неизвестных, которые непонятно было как вычислять. Впрочем, благодаря данным здесь советам, задача уже практически готова. Еще раз спасибо всем за помощь.

[Джон]

Даже при решении через уравнение окружности не обойтись без треугольника для нахождения радиуса.

При решении системой уравнений - НЕТ (см ниже)  - 3 точки это минимум, для решения задачи. А если бы было четыре точки? Нужен был бы прямоугольник?

в уравнении окружности есть 2 неизвестных, которые непонятно было как ычислять.

Не понял? Ну ладно, разберёмся.
Итак первое - сорри, сразу не было достаточно времени, для объяснений, и ещё одно сори - я в запарке неправильно записал уравнение окружности в первом посте. Если всё ещё актуально, вот так это делается без треугольника:

если известно, что точка лежит на окружности - это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Если три (4,5,6 и тд) точки лежат на окружности, то они все удовлетворяют одному и тому же уравнению. Тогда для точек P1(X1,Y1) P2(X2,Y2) P3(X3,Y3) лежащих на окружности радиуса R с центром в точке X,Y можно записать

(X1-X)^2 + (Y1-Y)^2 = R^2
(X2-X)^2 + (Y2-Y)^2 = R^2
(X3-X)^2 + (Y3-Y)^2 = R^2

те получили систему из 3х уравнений с тремя неизвестными X,Y,R - система имеет решение. Кстати, в условии твоей задачи не упоминается про радиус. В варианте с системой уравнений он тебе и не нужен, ну если хочешь, то тоже можешь найти. Это же является доказательством того, что по двум точкам ты не сможешь решить задачу. Система двух уравнений с тремя неизвестными не решается. И никакого треугольника.

зы Посмотрел выкладки npak-а - не исключено, что у получится то же самое.

[Dimka]

Система двух уравнений с тремя неизвестными не решается.

Отвлекусь от темы. Вообще говоря это утверждение не совсем верно. Например, посмотри диофантовы уравнения.

[Джон]

dimka, конечно же я имел ввиду самый общий случай. Я припоминаю, то ли на дифурах, то ли на ММФ тоже нечто подобное было. Ща уже не помню (давно было), я вон сразу даже вместо уравнения окружности чушь написал - а когда уравнения расписывать стал - понял. В данном случае двух точек мало, чтобы однозначно определить окружность. Представь себе для примера - это координаты точек пересечения двух окружностей, тогда у тебя есть две возможные окружности.